Diżugwaljanza ta' Čebyšëv

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv jew teorema ta' Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.

Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn u riskoperta indipendentement minn xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta' Bienaymé-Čebyšëv ).

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv tgħid li jekk il- (v.k.) ${\displaystyle \ X}$ għandha (aritmetika) ${\displaystyle \ \mu }$ u ${\displaystyle \ \sigma ^{2}}$ u ${\displaystyle \ \lambda }$ hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li ${\displaystyle \ X}$ tieħu valur bejn ${\displaystyle \ \mu -\lambda \sigma }$ u ${\displaystyle \ \mu +\lambda \sigma }$ hi ikbar minn ${\displaystyle \ 1-1/\lambda ^{2}}$:

${\displaystyle \operatorname {P} (\mu -\lambda \sigma \leq X\leq \mu +\lambda \sigma )\geq \ 1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$

F'termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista' tkun il-probabbiltà li din tieħu valuri 'l bogħod mill-medja iżjed minn ${\displaystyle \ \lambda }$ darbiet id-devjazzjoni standard, hi ${\displaystyle \ 1/\lambda ^{2}}$:

${\displaystyle \operatorname {P} \left(|X-\mu |\geq \lambda \sigma \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$

Pereżempju jekk nieħdu ${\displaystyle \ \lambda ={\sqrt {2}}}$ naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall ${\displaystyle \ (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$. Ninnotaw li fil-każ ${\displaystyle \ \lambda >1}$ biss ikollna informazzjoni utli.

Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa'. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b'distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Pereżempju, għal kull ${\displaystyle \ \lambda >1}$, dan l-eżempju (fejn ${\displaystyle \ \sigma =1/\lambda }$) jilħaq il-limiti eżattament.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=-1)&=1/(2\lambda ^{2}),\\\operatorname {P} (X=0)&=1-1/\lambda ^{2},\\\operatorname {P} (X=1)&=1/(2\lambda ^{2}).\end{aligned}}}$

Għal din id-distribużżjoni,

${\displaystyle \operatorname {P} \left(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma \right)=1/\lambda ^{2}.\,}$

Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta' din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.

Fl-ambitu tal- id-diżugwaljanza tgħid li mill-inqas ${\displaystyle \ 100(1-1/\lambda ^{2})}$ fil-mija tal-valuri huma bejn ${\displaystyle \ \mu -\lambda \sigma }$ u ${\displaystyle \ \mu +\lambda \sigma }$. Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti

• mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn ${\displaystyle \ \mu -2\sigma }$ u ${\displaystyle \ \mu +2\sigma ,}$
• mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn ${\displaystyle \ \mu -3\sigma }$ u ${\displaystyle \ \mu +3\sigma ,}$
• mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn ${\displaystyle \ \mu -4\sigma }$ u ${\displaystyle \ \mu +4\sigma .}$

Prova

Għal kull ġrajja ${\displaystyle \ A}$, ħalli ${\displaystyle \ I_{A}}$ tkun il-v.k. indikatriċi ta' ${\displaystyle \ A}$, jiġifieri ${\displaystyle \ I_{A}}$ tiswa 1 jekk ${\displaystyle \ A}$ tiġri u 0 jekk ma' tiġriex. Imbagħad

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (|X-\mu |\geq k\sigma )&=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})\\&\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.\end{aligned}}}$

Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b' ${\displaystyle \ [(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}}$ meta dan hu ikbar minn 1. Imma f'xi każi hu ħafna ikbar minn 1.

Noti

Portal Matematika

1. ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).