Serje ta' Fourier

Fil-matematika, serje ta' Fourier hi rappresentazzjoni ta' (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma

${\displaystyle x\mapsto e^{{\rm {i}}nx}}$ ;

Minħabba l-, is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas- u .

Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż (-), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is- (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn , u Daniel Bernoulli). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-, u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl- u fl- u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu Théorie analytique de la chaleur fl-. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' u ta' integral. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li u irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti.

Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha .

Definizzjoni ta' serje ta' Fourier

Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi ${\displaystyle \,f\,}$ li hi perjodika b'perijodu ${\displaystyle \ 2\pi }$ u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall ${\displaystyle \,[0,2\pi ]\,}$. Niddefinixxu

${\displaystyle F_{n}:={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,f(x)\,e^{-{\rm {i}}nx}{\rm {d}}x.}$ .

F'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta' Fourier ta' ${\displaystyle \,f\,}$ tingħata minn

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{{\rm {i}}nx}.}$.

Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu mod ta' Fourier. Fil-każ partikulari importanti fejn ${\displaystyle \,f\,}$ hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità

${\displaystyle e^{inx}\,=\,\cos(nx)+{\rm {i}}\sin(nx)}$

biex nirrappreżentaw ${\displaystyle \,f\,}$ ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta' funzjonijiet tal-forma ${\displaystyle \,\cos(nx)\,}$ u ${\displaystyle \,\sin(nx)\,}$, jiġifieri bħala

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]}$ ,

fejn

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {d}}x\,f(x)\cos(nx)\quad {\mbox{u}}\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {d}}x\,f(x)\sin(nx)}$ ;

din terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta'

${\displaystyle \,F_{n}={\frac {a_{n}-{\rm {i}}b_{n}}{2}}\quad {\mbox{u}}\quad F_{n}=F_{-n}^{*}}$ .

Eżempju

Nikkonsidraw il-funzjoni ${\displaystyle \,f(x)=x\,}$, il- għal ${\displaystyle \,x\in [-\pi ,\pi ]\,}$. Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.

Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li ${\displaystyle \,\cos(nx)\,}$ hi , waqt li l-f u ${\displaystyle \,\sin(nx)\,}$ huma .

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xdx=0}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)dx=0}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)dx}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}}$

Mela s-serje ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:

${\displaystyle f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )}$

Konvergenza tas-serje ta' Fourier

Waqt li l-koeffiċjenti ta' Fourier ${\displaystyle \,a_{n}\,}$ u ${\displaystyle \,b_{n}\,}$ nistgħu niddefinuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal ${\displaystyle \,f(x)\,}$ jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta' dik il-funzjoni.

Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta ${\displaystyle \,f\,}$ hi ; f'dak il-każ

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{{\rm {i}}nx}\right|^{2}\,{\rm {d}}x=0}$

(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-).

Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti x, pereżempju jekk il-funzjoni tkun fx. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin fx, imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-.

Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.

Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-exp

Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi" ${\displaystyle \,e^{{\rm {i}}kx}\,}$ huma tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-, hemm xi identitajiet utli:

• Jekk

${\displaystyle g(x)=f(x-y)\,\!}$

u niddenotaw b'G it-trasformata ta' g, imbagħad

${\displaystyle G_{k}\,=\,e^{-{\rm {i}}ky}F_{k}}$ .

• Jekk ${\displaystyle \,H_{k}\,}$ hi it-trasformata ta' ${\displaystyle \,h=f*g\,}$, imbagħad

${\displaystyle H_{k}\,=\,F_{k}G_{k}}$ ,

jiġifieri t-trasformata ta' Fourier ta' hi l-prodott tat-trasformati ta' Fourier. Viceversa, jekk ${\displaystyle \,h=fg\,}$, imbagħad it-trasformata ta' Fourier H ta' h hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta' Fourier ta' f u ta' g:

${\displaystyle H_{k}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }F_{i}\,G_{k-i}}$ .

Teorema ta' Parseval

Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-, każ partikulari tat- u forma ta' :

${\displaystyle \ ||F||^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|F_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx\,}$ .

${\displaystyle ||F||^{2}:=}$ bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-). In partikulari għall-funzjoni f b'valuri reali:

${\displaystyle {\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx}$.

L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta' Fourier korrispondenti.

Formulazzjoni ġenerali

Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal- u tal- tal-funzjonijiet ${\displaystyle \,e^{{\rm {i}}nx}\,}$. Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (pereżempju, dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.

Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' u l-. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger tal-.

Paġni li għandhom x'jaqsmu

• Trasformata ta' Fourier

Bibljografija

• William E. Byerly (1893): An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics Ginn & Company.
• Horatio S. Carslaw (1921): Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, Macmillan & co., ltd.
• E. W. Hobson (1926): The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2, Cambridge University Press.
• Antoni Zygmund (1935): Trigonometrical series, Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
• Yitzhak Katznelson (1976): An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0-486-63331-4

Ħoloq esterni

Portal Matematika

• Eżempji ta' problemi ta' Fourier fuq exampleproblems.com
• Java applet li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.