Matematika

Il-kelma Matematika ġejja mill-Grieg μάθημα (máthema), li tfisser "tgħalim", jew "xjenza"; μαθηματικός (mathematikós) tfisser "wieħed li jrid jitgħallem".

Fid-dixxiplina tal-Matematika nistudjaw problemi dwar il-kwantità, estensjoni u figuri spazjali, moviment tal-korpi, u l-istrutturi kollha fejn nistgħu neżaminaw dawn l-aspetti b'mod ġenerali.

Il-Matematika għandha tradizzjoni qadima fil-ġnus kollha; kienet l-ewwel dixxiplina li adottat metodi rigorużi ħafna, u b'hekk laħqet l-istatus ta’ xjenza; progressivament il-metodi tagħha żviluppaw u nfirxu ma ħafna oqsma fejn jistgħu ikunu ta’ għajnuna fil-komputazzjoni u l-immudellar.

Storja

Biex tapprofondixxi, ara l-artiklu: Kronoloġija tal-matematika.

Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!

Analisi Matematika

L-analisi matematika bdiet mill-formulazzjoni rigoruża tal-. Hija fergħa tal-matematika li tikkonċentra fuq l-ideja tal-: il- jew il-. Tinkludi wkoll it-teoriji tad-differenzazzjoni, integrazzjoni u , , u . L-istudju ta’ dawn it-teoriji ħafna drabi jsir fil-kuntest tan-, , u reali u komplessi. Madankollu, nistgħu niddefinixxu u nistudjaw dawn it-teoriji f’kull ta’ oġġetti matematiċi li fih hu possibbli li nagħtu definizzjoni ta’ "distanza" () jew iżjed ġenerali ta’ "qrubija" ().

Għaliex l-Analisi Astratta?

Għandna nistudjaw l-analisi matematika fil-kuntest iżjed wiesa' ta’ l-ispazji topologiċi jew spazji metriċi għal żewġ raġunijiet:

• l-ewwel, għax l-istess metodi bażiċi ħafna drabi japplikaw għal klassi ta’ problemi li hi ħafna usa’ (pereżempju, l-istudju ta’ ).

• it-tieni, u mhux inqas importanti, għax meta nifhmu l-analisi fi spazji aktar astratti sikwit nsibu li nistgħu napplikawha direttament għal problemi klassiċi. Pereżempju, fl-analisi ta’ Fourier, nistgħu nesprimu kull funzjoni bħala ċerta serje infinita (ta’ funzjonijiet trigonometriċi jew esponenzjali komplessi). Fiżikament, b’din id-dekompożizzjoni nirriduċu mewġa (tal-ħoss) arbitrarja fil-frekwenzi li jikkomponuha. Il "piżijiet" jew koeffiċjenti tat-termini fl-espansjoni ta’ Fourier ta’ funzjoni, jistgħu jitqiesu bħala l-komponenti ta’ vettur fi spazju ta’ dimensjoni infinita li nsibuh bħala . Mela l-istudju tal-funzjonijiet definiti f’dil-qagħda iżjed ġenerali jipprovdi metodu konvenjenti għad-derivazzjoni ta’ riżultati fuq kif il-funzjonijiet ivarjaw fl-ispazju u mal-ħin, jew f’termini aktar matematiċi fuq l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali, fejn din it-teknika nafuha bħala separazzjoni tal-varjabbli.

Storja tal-Analisi Matematika

Il- bħal u Arkimede meta applikaw il- biex jikkalkulaw l-arja u l-volum ta’ xi reġjuni u solidi użaw il-kunċetti tal-limiti u l-konvergenza b’mod informali. Fl-, il-matematiku tas-, ġa kellu l-ideja tal- u ta eżempji tad-derivata, flimkien mal-propożizzjoni ta’ dik li nsejħulu llum it-.

Fis-, l-analisi matematika bdiha , meqjus bħala l-"". Hu żviluppa idejat fundamentali: l-iżvilupp ta’ funzjoni f’, , is-, u l-approssimazzjoni razzjonali ta’ serje infinita. Żviluppa wkoll is-serje ta’ Taylor għall- tas-, , u , u stima l-iżbal li nagħmlu meta naqtgħu is-serje. Żviluppa l- infiniti, l-integrazzjoni b’termini wara termini, l-approssimazzjoni b’serje ta’ Taylor tas-senu u kosenu, u s-serje f’potenzi tar-, , , , π/4 u l-anglu . Id-dixxipli tiegħu fl-i baqgħu ikkabru x-xogħol tiegħu sas-.

Fl-Ewropa, fit-tieni nofs tas-seklu 17, Newton u independement minn xulxien żviluppaw il-kalkulu, li bl-istimulu ta’ l-applikazzjonijiet matul is- rabba ħafna friegħi bħall-kalkulu tal-varjazzjonijiet, l- u u l- . F’dal-perijodu, il-metodi tal-kalkulu ġew applikati biex japprossimaw b’oħrajn kontinwi.

Fis-, introduċa il-kunċett ta’ funzjoni matematika. Fis-, kien l-ewwel li stabbilixa l-kalkulu fuq pedament loġiku sod bl-introduzzjoni ta’ l-ideja tas-. Beda wkoll it-teorija formali ta’ l-analisi komplessa. , , u oħrajn studjaw l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali u l-analisi armonika.

F’nofs is-seklu introduċa t-teorija tiegħu tal-integrazzjoni. F’l-aħħar terz tas-seklu 19, Weierstrass li l-fehma tiegħu kienet li l-argumenti ġometriċi jistgħu iqarqu bina, daħħal l-aritmetizzazzjoni ta’ l-analisi u introduċa id-definizzjoni "epsilon-delta" tal-. Wara, il-matematiċi bdew jinkwietaw li kienu qegħdin jassumu l-eżistenza tal- tan- mingħajr prova. imbagħad ta kostruzzjoni tan-numri reali bil-methodu tal-, li bih il-matematiċi jikkrejaw numri rrazzjonali li jimlew il-"vojt" bejn in-numri razzjonali, u hekk joħolqu sett : il-kontinwu tan-numri reali. Madwar dak iż-żmien l-isforzi għar-raffinar tat- ta’ l- wasslu għall-istudju tal-"qies" tas-sett tad- tal-funzjonijiet reali.

Fl-istess ħin, bdew jinħolqu "" (funzjonijiet , funzjonijiet kontinwi imma mkien differenzjabbli, ). F’dal-kuntest, żviluppa t-teorija tiegħu tal-, żviluppa dik li daż-żmien insejħulha it-, u ipprova it-. Fil-bidu tas-, il-kalkulu ġie formalizzat b’l-użu tat-. irriżolva l-problema tal-miżura, u introduċa l-i biex jirriżolvi l-. L-ideja ta’ l-i kienet infirxet, u f’l-20ijiet tas-seklu ħoloq l-.

Oqsma ta' l-Analisi

L-Analsi Matematika tinkludi dawn l-oqsma:

• , l-istudju tad-derivati u l-integrali ta’ funzjonijiet b’varjabbli reali. Dan jinkludi l-istudju tas- u l- tagħhom, is-, u l-.
• Analisi Komplessa, l-istudju ta’ funzjonijiet mill- għall-pjan kompless li huma komplessament differenzjabbli.
• , l-istudju ta’ spazji ta’ funzjonijiet b’l-użu ta’ kunċetti bħal u .
• Analisi Armonika l-istudju tas-serji ta' Fourier u l-astrazzjonijiet tagħhom..
• , l-applicazzjoni tal-kalkulu għal spazji matematiċi astratti li għandhom struttura interna komplikata.
• , l-istudju ta’ l-algoritmi użati għall-approssimazzjoni ta’ problemi tal-matematika kontinwa.

Il-kelma Analisi Klassika s-soltu tfisser analisi mingħajr l-użu tal-metodi tal-analisi funzjonali. L-istudju tal-ekwazzjonijiet differenzjali issa huwa mferrex ma friegħi oħra bħas-, imma ġħadu mportanti ħafna fl-analisi konvenzjonali.

Alġebra

L-alġebra hi waħda mill-friegħi prinċipali tal-matematika u titratta l-istudju ta’ , u .

Il-kelma alġebra (mill-Għarbi الجبر, al-ġabr li tfisser "ġabra") ġejja mill-isem tal-ktieb tal-matematiku Għarbi , intitolat Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala ("Il-Ktieb tal-Ġabra u t-Tqabbil"), li jittratta ir-riżoluzzjoni tal- u .

L- li normalment tifforma parti mill-kurrikulu ta’ l-iskejjel sekondarji, tintroduċi l-ideja ta’ jew varjabbli li jirrepreżentaw kwantitajiet mhux magħrufa. Nitgħalmu wkoll kif ngħoddu u nimmoltiplikaw dawn il varjabbli, fuq il-polinomji mibnija minnhom u l-fattorizzazzjoni u l-kalkulazzjoni tar-. Però, l-alġebra hi ħafn’ usa’ minn hekk. L-għadd u l-moltiplikazzjoni nistgħu nqisuhom bħala ġenerali u d-definizzjoni eżatta tagħhom twassalna għal strutturi ġodda bħal , u .

Klassifikazzjoni

Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!

L-Alġebra Elementari

L-Alġebra elementari hija l-forma l-iżjed bażika ta’ l-alġebra. Jitgħalmuha l-istudenti li m’għandhomx tgħalim tal-mathematika iżjed avvanzat mill-prinċipji bażiċi ta’ l-aritmetika. Fl-aritmetika, nsibu biss in-numri u l-operazzjonijiet aritmetiċi fuqhom (bħal +, −, ×, ÷). Fl-alġebra, in-numri spiss nirripreżentawhom bis-simboli (bħal a, x, y). Din ir-repreżentazzjoni għandha dawn il-vantaġġi:

• Biha nistgħu nagħtu formulazzjoni ġenerali tar-regoli aritmetiċi (pereżempju a + b = b + a għal kull a u b), u hekk nistgħu nagħmlu l-ewwel pass fl-esplorazzjoni sistematika tal-propjetajiet tas-sistema tan-numri reali.
• Biha nistgħu nirreferu għan-numri "mhux magħrufin", nifformulaw ekwazzjonijiet u nistudjaw kif nirriżolvuhom (pereżempju, "Sib numru x sabiex 3x + 1 = 10").
• Biha nistgħu nagħmlu formulazzjoni ta’ relazzjonijiet funzjonali (bħal "Jekk tbigħ x biljetti, jkollok qligħ ta’ 3x - 10 ewri, jew f(x) = 3x - 10, fejn f hija l-funzjoni u x huwa n-numru li taġixxi fuqu l-funzjoni .").

X'inhi l-Alġebra Astratta

L-'alġebra astratta’ testendi il-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

: Minnflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ differenti, fl-alġebra astratta nqisu il-kunċett iżjed ġenerali ta’ sett li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom ) li għandhom ċerta propjetà speċifika għas-sett. Pereżempju in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu is-sett tal- ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal- tat-tieni ordni (ax² + bx + c), is-sett tal- bi-dimensjonali, u varji bħall-, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi n. It- hija fergħa tal- u teknikament mhux fergħa ta’ l-alġebra.

: L-ideja ta’ l- (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina operazzjoni binarja, * ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi a u b f’sett S a*b ittina element ieħor fis-sett, (dil-kundizzjoni ngħidulha taħt l-operazzjoni). L- (+), it-Tnaqqis (-), il- (×), u d- (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-moltiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

: Il-kunċett ta’ l-“element ta’ l-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element ta’ l-identità għall-għadd and u wieħed l-element ta’ l-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element ta’ l-identità e irid jissodisfa a * e = a u e * a = a. Għall-għadd din hi sodisfatta billi a + 0 = a u 0 + a = a u għall-moltiplikazzjini wkoll għax a × 1 = a u 1 × a = a. Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni ta’ l-għadd, m’hemmx element ta’ l-identità.

: Minn-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta’ element invers jew sempliċiment l-invers. Għall-għadd, l-invers ta’ a huwa -a, u għall-moltiplikazzjoni l-invers hu 1/a. L-element invers ġenerali a^-1 jrid jissodifa r-relazzjoni a * a^-1 = e u a^-1 * a = e.

: L-għadd tan-numri interi għandu propjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, l-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir (a * b) * c = a * (b * c). Il-biċċa kbira ta’ l-operazzjonijiet binarji għandhom din il-propjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le.

: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll propjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issir a * b = b * a. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-propjetà. L-għadd u l-moltiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-propjetà imma l- le.

Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi mportanti fil-matematika: il- grupp. Grupp jikkonsisti f’sett S u li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-propjetajiet:

• Irid ikun hemm element ta’ l-identità e, li għal kull membru ieħor a ta’ S, e * a u a * e huma t-tnejn ugwali għal a.
• Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor a ta’ S, irid jeżisti membru a^-1 sabiex a * a^-1 u a^-1 * a huma t-tnejn ugwali għall-element ta’ l-identità.
• L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal a, b u c membri ta’ S, (a * b) * c hija ugwali għal a * (b * c).

Jekk grupp hu anki - jiġifieri, għal kull żewg membri a u b ta’ S, a * b hija ugwali għal b * a – il-grupp ngħidu li hu .

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni ta’ l-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element a huwa n-negativ tiegħu, -a. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi a, b u c, (a + b) + c = a + (b + c).

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il- li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il- f’xi 30 tip bażiku.

Eżempji (MA = Mhux Applikabbli, bż = bla żero)
Sett:	${\displaystyle \mathbb {N} }$		${\displaystyle \mathbb {Z} }$		${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ u ${\displaystyle \mathbb {C} }$				Interi mod 3: {0,1,2}
Operazzjoni	+	× (bż)	+	× (bż)	+	−	× (bż)	÷ (bż)	+	× (bż)
Magħluq	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva
Identità	0	1	0	1	0	MA	1	MA	0	1
Invers	MA	MA	-a	MA	-a	a	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{a}}\end{matrix}}}$	a	0,2,1, respettivament	MA, 1, 2, respettivament
Assoċjattiv	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Le	Iva	Le	Iva	Iva
Kommutativ	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Le	Iva	Le	Iva	Iva
Struttura			grupp Abeljan		grupp Abeljan		grupp Abeljan		grupp Abeljan	grupp Abeljan (${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$)

, , u huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. għandu operazzjoni binarja assoċjattiva, imma jista’ jkun li m’għandux element ta’ l-identità. huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. għandu l-propjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×)

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-, u l-.

Id- tiġġeneralizza l-liġi distributtiva tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-). Għall-interi (a + b) × c = a×c+ b×c u c × (a + b) = c×a + c×b, u ngħidu li × hija distributtiva fuq +.

għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma grupp Abeljan. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element ta’ l-identità ta’ l-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse ta’ l-għadd ta’ a jinkiteb -a.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku.

hu ċirku b’propjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw grupp Abeljan taħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta’ a jinkiteb a^-1.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.

Alġebriet

Il-kelma alġebra nużawha wkoll għal xi :

• u fit-

Storja ta' l-alġebra

L-alġebra nistgħu nsibu l-oriġini tagħha fil-Babilonja antika. Il-Babilonjani żviluppaw avvanzat li bih setgħu jagħmlu kalkulazzjonijiet b’metodu alġebri. Permezz ta’ dan is-sistema, setgħu japplikaw formoli u jikkalkulaw valuri mhux magħrufa għal klassi ta’ problemi li daż-żmien nirriżolvuhom bl-użu ta’ , u . Għall-kontrarju, il-biċċa kbira tal-matematiċi ta’ dak iż-żmien, u l-biċċa kbira tal-matematiċi , u f’l-, is-soltu kienu jirriżolvu dawn il-problemi b’metodi , bħal dawk imfissra fil-, , , u . Ix-xogħol ġometriku tal-Griegi, li l-Elementi huwa eżempju tajjeb ħafna tiegħu, ipprovda s-sisien għall-ġeneralizzazzjoni tal-formuli mis-soluzzjoni ta’ problemi partikulari għal sistemi iżjed ġenerali li jistgħu jintużaw għall-formulazzjoni u s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet.

Il-kelma "alġebra" ġejja mill-Għarbi "al-ġabr" fit-titlu tal-ktieb "al-Kitab al-muhtasar fi ħisab al-ġabr wa-l-muqabala", li jfisser Il-ktieb fil-qosor fi ħsib il-ġbir u tqassim. Dan kitbu il-matematiku Persjan (Għarbi: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ) fit-820. Il-matematiku Grieg (Grieg: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς t. bejn u , m. bejn u AD) hu tradizzjonalment magħruf bħala “missier l-alġebra” imma hemm argument jekk Al-Khwariżmi għandux joħodlu dan it-titlu. Dawk li jżommu ma Al-Khwariżmi jsossnu li ħafna mix-xogħol tiegħu fuq “il-ġbir” jew riduzzjoni għadu użat sa llum u li hu ta spjegazzjoni kompleta fuq is-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjonijiet kwadratiċi. Dawk li jżommu ma jgħidu li l-alġebra li nsibu f’Al-Ġabr hi iżjed elementari mill-alġebra fl- Aritmetika ta’ Diofantu u li l-Aritmetika hi miktuba fi stil sinkopat waqt li Al-Ġabr hi kollha fi stil retoriku. Matematiku Persjan ieħor, (Persjan: غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری t. 18 ta’ Mejju, 1048, m. 4 ta’ Diċembru, 1131), żviluppa l- u sab soluzzjoni ġenerali ġometrika ta’ l-. Il-matematiċi Indjani u , u l-matematiku Ċiniż , irriżolvew xi każi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi, , u ta’ ordni ogħla.

F’nofs is-seklu 16 kien hemm żvilupp importanti ieħor ta' l-alġebra. Dan kien is-soluzzjoni alġebrija ġenerali tal-ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi. L-ideja ta’ żviluppha l-matematiku Ġappuniż fis-seklu 17, u għaxar snin wara uża d-determinanti biex jirriżolvi sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji premezz tal-. Fis-seklu 18, ukoll ħadem fuq il-matriċi u d-determinanti. L-iżvilupp ta’ l-Alġebra astratta sar fis-seklu 19. Fil-bidu dan ix-xogħol ikkonċentra fuq li daż-żmien insejħulha it- u fuq kwistjonijiet tal-.

L-istadji ta’ l-iżvilupp ta’ l-alġebra simbolika kienu bejn wieħed u ieħor dawn:

• Alġebra retorika, li żviluppawha l-Babilonjani u baqet dominanti sas-seklu 16;
• Alġebra ġometrika kostruttiva, li tawha ħafna mportanza il-matematiċi Indjani u l-matematiċi klassiċi Griegi;
• Alġebra sinkopata, li kienet żviluppata minn u fil-;
• Alġebra simbolika, li laħqet il-quċċata fix-xogħol ta’ .

Kronoloġija ta’ żviluppi kritiċi fl-alġebra:

• Ċirka 1800 QK: Fit- il-Babilonjani jfittxu s-soluzzjoni ta’ ekwazzjoni ellittika kwadratika.
• Ċirka 1600 QK: It-tavletta ta’ tagħti tavola ta’ fi skritt Babilonjan
• Ċirka 800 QK: Il-matematiku Indjan , fix-xogħol tiegħu , jiskopri trippli Pitagoriċi b’metodi alġebrin, jsib soluzzjonijiet ġometriċi ta’ ekwazzjonijiet linjari u ekwazzjonijiet kwadratiċi tal-forma ax² = c u ax² + bx = c, u jsib żewġ settijiet ta’ soluzzjonijiet integrali pożittivi għal sett ta’ ekwazzjonijiet simultanji Diofantini.
• Ċirka 600 QK: Il-matematiku Indjan , fix-xogħol tiegħu Apastamba Sulba Sutra, jirriżolvi l-ekwazzjoni linjari ġenerali u juża ekwazzjonijiet simultanji Diofantini b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa.
• Ċirka 300 QK: Fit-tieni ktieb ta’ l-Elementi, Ewklidi jagħti kostruzzjoni ġometrika b’metodi Ewklidej għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni kwadratika għal radiċi posittivi reali. Il-kostruzzjoni hi dovuta għall-iSkola Pitagorika tal-ġometrija.
• Ċirka 300 QK: Titfittex kostruzzjoni ġometrika għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni kubika. Issa nafu li bil-metodi Ewklidej ma nistgħux insibu soluzzjoni għall-ekwazzjoni kubika ġenerali.
• Ċirka 100 QK: Il-ktieb tal-matematika Ċiniż (Id-Disgħa Kapitli fuq l-Arti Matematika), jittratta Ekwazzjonijiet alġebrin. Dal-ktieb fih soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet linjari bl-użu tar-, soluzzjonijiet gometriċi ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ matriċi, ekwivalenti għall-metodi moderni, għas-soluzzjoni tas-sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji.
• Ċirka 100 QK: Il-, miktub fl-Indja, juża forma ta’ notazzjoni alġebrija bl-ittri u sinjali oħra, u fih ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi, soluzzjonijiet alġebrin ta’ b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa, il-formula alġebrija ġenerali għall-ekwazzjoni kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati u ekwazzjonijiet simultanji.

• Ċirka 150 AD: Il-matematiku Eġizzjan Ellenistiku , jittratta l-ekwazzjonijiet alġebrin fi tliet volumi tal-matematika.
• Ċirka 200: Il-matematiku Babilonjan Ellenistiku, li għex fl-Eġittu u li ħafna jikkunsidrawh bħala "missier l-alġebra", jikteb l-opra famuża tiegħu, l-Aritmetika, li fiha soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet alġebrin u xogħol fuq it-teorija tan-numri.
• 499: Il-matematiku Indjan , fit-trattat tiegħu Arjabatija, jsib soluzzjonijiet interi għal xi ekwazzjonijiet linjari b’metodu ekwivalenti għal dak li nużaw illum, jiddeskrivi s-soluzzjoni integrali ġenerali ta’ l-ekwazzjoni linjari indeterminata u jagħti soluzzjonijiet integrali ta’ xi ekwazzjonijiet linjari simultanji indeterminati.
• Ċirka 625: Il-matematiku Ċiniż, Wang , jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi.
• 628: Il-matematiku Indjan, , fit-trattat tiegħu Brahma Sputa Siddhanta, jivvinta l-metodu ċakravala għas-soluzzjoni ta’ xi ekwazzjonijiet kwadratiċi simultanji indeterminati, fosthom l-ekwazzjoni ta’ Pell, u jagħti regoli għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.
• 820: Il-matematiku Persjan, Muhammad ibn Musa , jikteb it-trattat intitolat Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala (li tfisser "Il-Ktieb tal-ġbir u t-tqabbil") fuq is-soluzzjoni sistematika ta’ l-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi. Il-kelma alġebra ġejja minn al-Ġabr fit-titlu ta’ dal-ktieb. Al-Khwariżmi hu kkunsidrat minn bosta bħala "missier l-alġebra" u ħafna mill-metodi tiegħu ta’ riduzzjoni jew ‘’ġbir’’ għadna nużawhom fl-alġebra sa llum.
• Ċirka 850: Il-matematiku Persjan, , jaħseb fl-ideja ta’ riduzzjoni ta’ problemi ġometriċi, bħad-duplikazzjoni tal-kubu, għal problemi fl-alġebra.
• Ċirka 850 Il-matematiku, , jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni ogħla kif ukoll xi ekwazzjonijiet indeterminati. kwadratiċi, kubiċi u ta’ ordni ogħla.
• Ċirka 990: Il-Persjan , fit-trattat tiegħu al-Fakhri, jiżviluppa l-alġebra iżjed billi jestendi l-metodoloġija ta’ Al-Khwariżmi biex tinkludi poteri integrali u radiċi integrali ta’ kwantitajiet mhux magħrufa. Jissostwixxi l-operazzjonijiet gometriċi ta’ l-alġebra b’operazzjonijiet aritmetiċi moderni, u jiddefinixxi il-monomjali x, x², x³, ... u 1/x, 1/x², 1/x³, ... u jagħti l-prodott ta’ kull par minn dawn.
• Ċirka 1050: Il-matematiku Ċiniż, , jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet polinomjali.
• 1072: Il-matematiku Persjan, , jiżviluppa l-ġometrija alġebrija, u fit-Trattat fuq Dimostrazzjoni ta’ Problemi fl-Alġebra, jagħti klassifikazzjoni ta’ ekwazzjonijiet kubiċi permezz ta’soluzzjonijiet ġometriċi ġenerali misjuba bis-sezzjonijiet koniċi ntlaqqin.
• 1114: Il-matematiku Indjan, , fil- Biġaganita (Alġebra), jinduna li numru pożittiv għandu radiċi kwadrata pożittiva u oħra negattiva, u jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni polinomjali, kif ukoll l-ekwazzjoni kwadratika ġenerali indeterminata.
• 1202: L-alġebra tidħol l-Ewropa l-iktar imħabba x-xogħol ta’ ta’ Pisa fil-ktieb tiegħu .
• Ċirka 1300: Il-matematiku Ċiniż, , jittratta l-alġebra polinomjali, jirriżolvi ekwazzjonijiet kwadratiċi, ekwazzjonijiet simultanji u ekwazzjonijiet b’sa erbgħa kwantitajiet mhux magħrufa, u jirriżolvi numerikament xi ekwazzjonijiet kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.

• Ċirka 1400: Il-matematiku Indjan, , jiskopri metodi iterattivi għas-soluzzjoni approssima ta’ ekwazzjonijiet mhux linjari.
• 1535: Nicolo Fontana u matematiċi oħra fl-Italja independentement jirriżolvu l-ekwazzjoni kubika ġenerali.
• 1545: Girolamo jippublika Ars magna (L-Arti l-Kbira) fejn jagħti s-soluzzjoni ta’ Fontana għall-ekwazzjoni kwartika ġenerali.
• 1572: Rafael jsib ir-radiċi komplessa tal-kubiku u jtejjeb in-notazzjoni kurrenti.
• 1591: jiżviluppa u jtejjeb in-notazzjoni simbolika għall-poteri fil-ktieb In artem analyticam isagoge.
• 1682: jiżviluppa l-manipulazzjoni simbolika b’regoli formali li jgħidilhom characteristica generalis.
• 1680s: Il-matematiku Ġappuniż, , fil-Metodu għas-soluzzjoni ta’ problemi dissimulati, jiskopri d-determinant u n-.
• 1750: , fit-trattat tiegħu Introduzzjoni għall-analisi ta’ kurvi alġebrin, jipproponi r- u jistudja l-kurvi alġebrin, il-matriċi u d-determinanti.
• 1824: jipprova li ma nistgħux nirriżolvu l-ekwazzjoni kwintika ġenerali bir-radiċi.
• 1832: It-teorija ta’ Galois jiżviluppha fix-xogħol tiegħu fuq l-alġebra astratta.

Portal tal-Matematika