Azərbaycan  AzərbaycanLietuva  LietuvaMalta  Maltaශ්‍රී ලංකාව  ශ්‍රී ලංකාවTürkmenistan  TürkmenistanTürkiyə  Türkiyə
Appoġġ
www.datawiki.mt-mt.nina.az
  • Dar

Fl differenzjali hi relazzjoni bejn u x displaystyle displaystyle u x u xi tagħha Fil każ li u displaystyle displaystyle

Ekwazzjoni differenzjali

  • Paġna Ewlenija
  • Ekwazzjoni differenzjali
Ekwazzjoni differenzjali
www.datawiki.mt-mt.nina.azhttps://www.datawiki.mt-mt.nina.az

Fl-, differenzjali hi relazzjoni bejn u ( x ) {\displaystyle {\displaystyle u(x)}} u xi tagħha.

Fil-każ li u {\displaystyle {\displaystyle u}} tkun funzjoni

u : I → R {\displaystyle u:I\to \mathbb {R} }

definita f' I {\displaystyle I\!} ta' R {\displaystyle \mathbb {R} } ngħidu li hi (imqassra ODE, ta' ordinary differential equation). Din ir-relazzjoni hi eżempju ta' ODE

u ″ ( x ) = u ( x ) + u ′ ( x ) {\displaystyle u''(x)=u(x)+u'(x)\!} .

Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni   n {\displaystyle \ n} hija:

f ( x , u ( x ) , u ′ ( x ) , . . . , u ( n ) ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,u(x),u'(x),...,u^{(n)}(x))=0\!} .

Insejħu ordni jew grad tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju:

u ″ ( x ) = f ( x , u ( x ) , u ′ ( x ) ) {\displaystyle u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!}

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa u {\displaystyle {\displaystyle u}} hi funzjoni ta' x {\displaystyle {\displaystyle x}} biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni   u {\displaystyle \ u} (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta' .

Matul is-sekli, mindu u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri   y = f ( x ) {\displaystyle \ y=f(x)\;} , u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma

f ( y ) = g ( x ) , {\displaystyle f(y)=g(x),\;\!}

li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk   f {\displaystyle \ f} hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna

y = f − 1 ( g ( x ) ) . {\displaystyle y=f^{-1}\left(g(x)\right).}

Motivazzjoni

L-ekwazzjonijiet differenziali huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta' fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-. Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu ( t = 0 ) {\displaystyle \left(t=0\right)\;} minn P 0 {\displaystyle P_{0}\;} individwi u nsejħu P ( t ) {\displaystyle P(t)\;} il-popolazzjoni fil-ħin t {\displaystyle {\displaystyle t}} . Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt t {\displaystyle {\displaystyle t}} , wara ħin relativament żgħir d t {\displaystyle {\displaystyle dt}} titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda d t {\displaystyle {\displaystyle dt}} , jiġifieri daqs n P ( t ) d t {\displaystyle nP(t)\,dt} fejn n {\displaystyle n} hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu m P ( t ) d t {\displaystyle mP(t)\,dt} individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn m {\displaystyle m\;} hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin t + d t {\displaystyle {\displaystyle t+dt}} , għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin t {\displaystyle {\displaystyle t}} li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri

P ( t + d t ) = P ( t ) + n P ( t ) d t − m P ( t ) d t = P ( t ) + ( n − m ) P ( t ) d t . {\displaystyle P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt.\!}

Għalhekk għandna

P ( t + d t ) − P ( t ) d t = ( n − m ) P ( t ) . {\displaystyle {\frac {P(t+dt)-P(t)}{dt}}=(n-m)P(t).}

Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir- tal-funzjoni P ( t ) {\displaystyle {\displaystyle P(t)}} ; jekk d t {\displaystyle {\displaystyle dt}} hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid- P ′ ( t ) {\displaystyle {\displaystyle P'(t)}} u niktbu:

P ′ ( t ) = ( n − m ) P ( t ) . {\displaystyle P'(t)=(n-m)P(t).\!}

Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni. Ir-riżolużzjoni ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni P ( t ) {\displaystyle P(t)\;} li tissodisfa.

F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

P ( t ) = P 0 e ( n − m ) t , {\displaystyle P(t)=P_{0}\,e^{(n-m)t},\!}

li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk n > m < {\displaystyle {\displaystyle n>m<}} , jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk m > n {\displaystyle {\displaystyle m>n}} .

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-.

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom , jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax-xifer.

Problema ta' Cauchy

Il- assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-. Bil-formuli:

{ f ( x , y , y ′ , y ″ , … , y n ) = 0     i n     ( a , b ) y ( a ) = y 0 … y n − 1 ( a ) = y n − 1 {\displaystyle {\begin{cases}f(x,y,y',y'',\dots ,y^{n})=0\ \ {\rm {{in}\ \ (a,b)}}\\y(a)=y_{0}\\\dots \\y^{n-1}(a)=y_{n-1}\end{cases}}}

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni   y ( x ) {\displaystyle \ y(x)} , mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja   λ {\displaystyle \ \lambda } b'potenza rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta'   y {\displaystyle \ y} waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali   y ″ − 5 y ′ + 6 y = 0 {\displaystyle \ y''-5y'+6y=0\;} , nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja   λ {\displaystyle \ \lambda } skont ir-regola indikata fuq u niksbu   λ 2 − 5 λ + 6 = 0 {\displaystyle \ \lambda ^{2}-5\lambda +6=0\;} .

Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali

(imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi partial differential equation) hi li tinvolvi d- ta' mhux magħrufa.

Fil-każ li   u {\displaystyle \ u} tkun funzjoni ta'   k {\displaystyle \ k} varjabbli reali indipendenti   ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle \ (x_{1},\ldots ,x_{k})} , jiġifieri   u = u ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle \ u=u(x_{1},\ldots ,x_{k})\!} , ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni   n {\displaystyle \ n} , jkollha l-forma ġenerali:

f ( x 1 , … , x k , u , … , ∂ u ∂ x 1 n , … , ∂ u ∂ x k n ) = 0 , {\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{k},u,\ldots ,{{\partial u} \over {\partial x_{1}^{n}}},\ldots ,{{\partial u} \over {\partial x_{k}^{n}}}\right)=0,}

jekk   f {\displaystyle \ f} tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni   n {\displaystyle \ n} ta'   u {\displaystyle \ u} .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.

Bibljografija

  • G. Boole A treatise on differential equations (McMillan, Cambridge, 1859)
  • W. W. Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
  • E. Goursat A course of mathematical analysis, part II of volume II (Ginn & co. 1917)
  • E. L. Ince Ordinary Differential Equations (Longman Greens, London, 1927)
  • A. R. Forsyth A Treatise On Differential Equations (MacMillan, London, 1929)
  • E. G. C. Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations (Clarendon Press, Oxford, 1936)
  • E. Picard Traité d'Analyse (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1896)
  • C. Jordan Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1913)

Ħoloq esterni

Portal Matematika
  • EqWorld
  • MathWorld

Awtur: www.NiNa.Az

Data tal-pubblikazzjoni: 09 Ġun, 2025 / 19:30

wikipedija, wiki, ktieb, kotba, librerija, artiklu, aqra, niżżel, b'xejn, download b'xejn, mp3, vidjo, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, stampa, mużika, kanzunetta, film, ktieb, logħba, logħob, mobbli, telefon, android, ios, apple, mowbajl, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, kompjuter, Informazzjoni dwar Ekwazzjoni differenzjali, X'inhi Ekwazzjoni differenzjali? Xi tfisser Ekwazzjoni differenzjali?

Fl differenzjali hi relazzjoni bejn u x displaystyle displaystyle u x u xi tagħha Fil kaz li u displaystyle displaystyle u tkun funzjoni u I R displaystyle u I to mathbb R definita f I displaystyle I ta R displaystyle mathbb R ngħidu li hi imqassra ODE ta ordinary differential equation Din ir relazzjoni hi ezempju ta ODE u x u x u x displaystyle u x u x u x Il forma l izjed ġenerali ta ekwazzjoni differenzjali ordinarja invarjabbli ta ordni n displaystyle n hija f x u x u x u n x 0 displaystyle f x u x u x u n x 0 Insejħu ordni jew grad tal ekwazzjoni il grad tal ogħla derivata prezenti perezempju u x f x u x u x displaystyle u x f x u x u x hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja il funzjoni mhux magħrufa u displaystyle displaystyle u hi funzjoni ta x displaystyle displaystyle x biss tat tieni ordni Funzjoni u displaystyle u derivabbli għal ċertu numru ta drabi li tissodisfa r relazzjoni definita mill ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal ekwazzjoni differenzjali Ġeneralment hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita Ma dan kollu kwazi dejjem possibbli nistudjaw l imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta Matul is sekli mindu u Newton ifformalizzaw il kalkulu infinitezmali instabu xi kazi fejn hu possibbli nsibu l espressjoni analitika tas soluzzjoni Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita jiġifieri y f x displaystyle y f x u xi drabi oħra impliċita jew fil forma f y g x displaystyle f y g x li tista tinbidel f forma espliċita biss jekk f displaystyle f hi invertibbli u f dal kaz ikollna y f 1 g x displaystyle y f 1 left g x right MotivazzjoniL ekwazzjonijiet differenziali huma l izjed strumenti importanti li tagħtina l analisi matematika għall istudju ta fl izjed setturi tax xjenza mferrxin mill fizika għall bijoloġija għall Ezempju elementari ħafna ta kif l ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill istudju ta sistemi huwa dan li ġej Nissoponu li għandna popolazzjoni ta batteri komposta fil bidu t 0 displaystyle left t 0 right minn P 0 displaystyle P 0 individwi u nsejħu P t displaystyle P t il popolazzjoni fil ħin t displaystyle displaystyle t Wieħed jistenna li fil medja f kull waqt t displaystyle displaystyle t wara ħin relativament zgħir d t displaystyle displaystyle dt titwieled kwantita ta individwi ġodda proporzjonali għall popolazzjoni u għall ħin li għadda d t displaystyle displaystyle dt jiġifieri daqs n P t d t displaystyle nP t dt fejn n displaystyle n hu numru li nissoponu kostanti li jiddeskrivi r rata tat twelid analogament wieħed jistenna li jmutu m P t d t displaystyle mP t dt individwi fl istess intervall ta ħin fejn m displaystyle m hu r rata kostanti tal mewt Il popolazzjoni fil ħin t d t displaystyle displaystyle t dt għalhekk tingħata mill popolazzjoni fil ħin t displaystyle displaystyle t li nzidu magħha l popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet jiġifieri P t d t P t n P t d t m P t d t P t n m P t d t displaystyle P t dt P t nP t dt mP t dt P t n m P t dt Għalhekk għandna P t d t P t d t n m P t displaystyle frac P t dt P t dt n m P t Nistgħu nagħrfu f din l espressjoni ir tal funzjoni P t displaystyle displaystyle P t jekk d t displaystyle displaystyle dt hu zgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid P t displaystyle displaystyle P t u niktbu P t n m P t displaystyle P t n m P t Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal ewwel ordni Ir rizoluzzjoni ta din l ekwazzjoni tfisser is sejba ta kif l imġiba tal popolazzjoni tinbidel mal ħin jiġifieri l funzjoni P t displaystyle P t li tissodisfa F dal kaz faċli li nsibu s soluzzjoni li hi l funzjoni P t P 0 e n m t displaystyle P t P 0 e n m t li tizdied mal ħin b mod espluziv jekk n gt m lt displaystyle displaystyle n gt m lt jiġifieri jekk in natalita hi ogħla mill mortalita u tonqos biex tispiċċa fix xejn malajr jekk m gt n displaystyle displaystyle m gt n Il mudell li ezaminajna pero hu semplifikat ħafna in ġenerali ir rata tal kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall popolazzjoni prezenti b kostanti tal proporzionalita fissa nistennew perezempju li r rizorsi disposti jkunu limitati u mhux bizzejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira Nistgħu nikkonsidraw minflok sitwazzjonijiet izjed komplikati bħal dawk fejn hemm izjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom bħal perezempju predi u predaturi fil Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirrizolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta ekwazzjonijiet differenzjali b mod analitiku u niksbu soluzzjoni ezatta Imma billi dan mhux dejjem possibbli jinħtieġu wkoll metodi biex nirrizolvuhom jiġifieri napprossimaw is soluzzjoni bl idejn jew permezz ta kalkulatur fl inħawi ta punt wieħed jew izjed Mill banda l oħra jidher utli wkoll l istudju kwalitativ tal istruttura ġometrika tas soluzzjonijiet meta nvarjaw id dati inizjali jew il parametri esterni fejn sikwit jiġri li s soluzzjoni tal ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta funzjonijiet li jiddipendu mill parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax xifer Problema ta CauchyIl assoċjat ma ekwazzjoni differenzjali waħda jew izjed jikkonsisti fir rizoluzzjoni tas sistema ffurmat mis soluzzjoni tal ekwazzjonijiet u tal Bil formuli f x y y y y n 0 i n a b y a y 0 y n 1 a y n 1 displaystyle begin cases f x y y y dots y n 0 rm in a b y a y 0 dots y n 1 a y n 1 end cases L ekwazzjoni polinomjali assoċjataL ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma ekwazzjoni differenzjali linjari hi l ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l funzjoni y x displaystyle y x mhux magħrufa fil varjabbli awzilljarja l displaystyle lambda b potenza rispettivament daqs l ordni tad derivazzjoni ta y displaystyle y waqt li nzommu l istess koeffiċjenti Perezempju jekk ningħtaw l ekwazzjoni differenzjali y 5 y 6 y 0 displaystyle y 5y 6y 0 nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil varjabbli awzilljarja l displaystyle lambda skont ir regola indikata fuq u niksbu l 2 5 l 6 0 displaystyle lambda 2 5 lambda 6 0 Ekwazzjonijiet differenziali bid derivati parzjali imqassra PDE mill inizjali tal kliem Inglizi partial differential equation hi li tinvolvi d ta mhux magħrufa Fil kaz li u displaystyle u tkun funzjoni ta k displaystyle k varjabbli reali indipendenti x 1 x k displaystyle x 1 ldots x k jiġifieri u u x 1 x k displaystyle u u x 1 ldots x k ekwazzjoni differenzjali bid derivati parzjali ta ordni n displaystyle n jkollha l forma ġenerali f x 1 x k u u x 1 n u x k n 0 displaystyle f left x 1 ldots x k u ldots partial u over partial x 1 n ldots partial u over partial x k n right 0 jekk f displaystyle f tiddipendi espliċitament minn mill inqas waħda mid derivati parzjali ta ordni n displaystyle n ta u displaystyle u L idea hi li niddeskrivu l funzjoni indirettament permezz ta relazzjoni bejnha u d derivati parzjali tagħha minflok niktbu l funzjoni espliċitamenti Ir relazzjoni trid tkun lokali trid tgħaqqad il funzjoni mad derivati tagħha fl istess punt Soluzzjoni tal ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r relazzjoni BibljografijaG Boole A treatise on differential equations McMillan Cambridge 1859 W W Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations J Wiley amp Sons New York 1889 E Goursat A course of mathematical analysis part II of volume II Ginn amp co 1917 E L Ince Ordinary Differential Equations Longman Greens London 1927 A R Forsyth A Treatise On Differential Equations MacMillan London 1929 E G C Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations Clarendon Press Oxford 1936 E Picard Traite d Analyse vol 3 Gauthier Villars 1896 C Jordan Cours d Analyse de l Ecole Polytechnique vol 3 Gauthier Villars 1913 Ħoloq esterniPortal Matematika EqWorld MathWorld

L-aħħar artikli
  • Ġunju 08, 2025

    Rivoluzzjoni Franċiża

  • Ġunju 07, 2025

    Reġjuni ta’ Malta

  • Ġunju 09, 2025

    Reġjun Għawdex

  • Ġunju 09, 2025

    Reġjun tat-Tramuntana, Malta

  • Ġunju 09, 2025

    Reġjun tal-Punent, Malta

www.NiNa.Az - Studio

    Ikkuntattjana
    Lingwi
    Ikkuntattjana
    DMCA Sitemap
    © 2019 nina.az - Id-drittijiet kollha riservati.
    Copyright: Dadash Mammadov
    Websajt b’xejn li tipprovdi informazzjoni u qsim ta’ fajls minn madwar id-dinja.
    Fuq