Analisi komplessa

L-Analisi komplessa (jew iżjed preċiż, it-teorija tal-funzjonijiet ta’ varjabbli komplessi) hi dik il-fergħa ta’ l-analisi matematika li tapplika l-idejat tal- għall-funzjonijiet komplessi, jiġifieri għal funzjonijiet li għandhom bħala u settijiet ta’ .

Il-kunċett ewlieni tal-analisi komplessa hi l-: din hi funzjoni komplessa mgħammra b’nozzjoni ta’ , fl-istess mod kif isir fil-każ tal-funzjonijiet reali tas-soltu. Il- hi estensjoni ta’ dan il-kunċett.

L-analisi komplessa hi utli ħafna f’bosta friegħi tal-matematika, bħal pereżempju, it-Teorija tan-numri u l-; għandha applikazzjonijiet importanti anki fil-fiżika.

Funzjonijiet olomorfi

Definizzjoni

L-analisi komplessa tapplika l-metodi tal- għan-numri komplessi. Biex nagħmlu dan, hemm bżonn li nimudellaw in-numri komplessi fil-, mgħammar bit- tas-soltu. It-topoloġija tippermettielna li nitkellmu fuq , fuq , fuq u fil-pjan.

L-analisi komplessa tistudja funzjonijiet

${\displaystyle f:A\to \mathbb {C} }$

definiti fuq sett miftuħ ${\displaystyle \ A}$ tal- ${\displaystyle \ \mathbb {C} }$, b’valuri komplessi. B’mod analogu għal kollox ma’ dak li jsir fil-każ reali, funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’punt jekk ir- għandu limitu fil-punt. Jekk il-funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’kull punt ta’ ${\displaystyle \ A}$, ngħidulha .

Relazzjoni mad-differenzjabbiltà

Bl-użu tal-identifikazzjoni ta’ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ma’ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, il-funzjoni ${\displaystyle f}$ nistgħu ninterpretawha bħala funzjoni minn sett miftuħ ta’ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ għal ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Funzjoni derivabbli f’sens kompless hi neċessarjament jekk ninterpretawha b’dal-mod. Però l-oppost mhux veru; il-kundizzjoni ta’ derivabbiltà f’sens kompless għal funzjoni differenzjabbli hi miġbura fl-.

Mapep konformi

Funzjoni olomorfa li għandha derivata kullimkien differenti minn zero, ngħidulha : hi mappa li tippreżerva jew iżżomm l-angoli, imma mhux neċessarjament id-distanzi. Dil-proprjetà ġejja mill-fatt li funzjoni olomorfa hi (bħal fil-każ reali) approssimabbli lokalment minn , u mill-fatt li l-funzjonijiet linjari fuq il-pjan kompless huma kompożizzjoni ta’ u , it-tnejn operazzjonijiet konformi.

Funzjonijiet armoniċi

Min-naħa l-oħra, il-parti reali u l-parti immaġinarja ta’ funzjoni olomorfa huma t-tnejn : xi proprijetajiet tal-funzjonijiet armoniċi, bħal dik ta’ li ma tħallix massimi u minimi lokali, jintirtu mill-funzjonijiet olomorfi.

Il-Formula ta’ Cauchy

L-ingredjent ewlieni tal-analisi komplessa, li m’għandux analogu fl-analisi reali , hu il-. Dil-formola tagħti relazzjoni bejn il-valur ${\displaystyle \ f(z)}$ ta’ funzjoni olomorfa fil-punt ${\displaystyle \ z}$ ma’ l-integral ta’ funzjoni mibnija minn ${\displaystyle \ f}$ matul ${\displaystyle \ \Gamma }$ li "iddur" mal-punt ${\displaystyle \ z}$:

${\displaystyle f(z)={{1} \over {2\pi i}}\cdot \oint _{\Gamma }{{f(z')} \over {z'-z}}\,dz'.}$

Mill-formola ta’ Cauchy joħorġu ħafna proprijetajiet tal-funzjonijiet olomorfi, li m’għandhomx analogi fl-ambitu ta’ l-analisi reali . Niddeskrivu xi wħud minn dawn il-proprijetajiet hawn taħt.

Analitiċità

Funzjoni olomorfa hi dejjem . Dan ifisser li lokalment nistgħu nesprimuha bħala . Fi kliem ieħor, fl-ambitu kompless l-eżistenza tal-ewwel derivata hi biżżejjed biex tiggarantixxi mhux biss l-eżistenza tad-derivati ta’ kull ordni, imma wkoll l-analitiċità tal-funzjoni. Dan ma jiġrix fl-ambitu reali .

It-teorema ta’ Liouville

Funzjoni olomorfa hi jekk hi definita fuq il-pjan kompless kollu. Il-funzjonijiet interi huma dawk il-funzjonijiet li f’kull punt għandhom rappreżentazzjoni bħala serje ta’ potenzi b’ infinit. Il-funzjonijiet interi għandhom ħafna restrizzjonijiet. Fosthom, it- li tgħid li funzjoni intera li mhijiex kostanti ma jistax ikollha limitat fil-pjan.

Għalhekk fl-ambitu kompless ma jeżistux funzjonijiet bħal l- reali , li huma definiti fuq ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kollha imma b’modulu uniformement limitat.

It-teorema tal-modulu massimu

It-, tgħid li l-modulu ${\displaystyle \ |f(z)|}$ ta' funzjoni olomorfa ${\displaystyle \ f}$ definita fuq sett miftuħ ${\displaystyle \ A}$ ma jistax jilħaq il-massimu. Jekk id-dominju ${\displaystyle \ A}$ hu u l-funzjoni ${\displaystyle \ f}$ nistgħu nestenduha bil- għall- ta’ ${\displaystyle \ A}$, il-modulu jilħaq il-massimu fuq wieħed mill-punti tat-xifer.

Eżempji ta’ funzjonijiet olomorfi

Kull funzjoni definita mill-bidu bl-erba’ operazzjonijiet aritmetiċi hi olomorfa fis-sett miftuħ li fih hi definita sewwa. Jekk ${\displaystyle \ p(z)}$ u ${\displaystyle \ q(z)}$ huma żewġ , il-funzjoni

${\displaystyle f(z)={{p(z)} \over {q(z)}}}$

hi olomorfa fuq is-sett miftuħ ${\displaystyle \ A}$ miksub billi nnaħħu minn ${\displaystyle \ \mathbb {C} }$ il-punti li jikkorrispondu mar- ta’ ${\displaystyle \ q}$.

Kull reali testendi b’mod uniku għal funzjoni olomorfa. Il-proċedura li biha l-funzjonijiet olomorfi jiġu estiżi b’mod uniku ngħidulha . In partikulari, il-funzjonijiet , tas-, u l- huma funzjonijiet olomorfi.

L-imġiba tal-funzjonijiet esponenzjali u s-senu fl-ambitu kompless hi iżjed għanja milli nsibu fl-ambitu reali. Per eżempju, minħabba t- il-funzjoni tas-senu mhijiex limitata fil-pjan kompless (kontra li jiġri fir-reali, fejn tvarja bejn -1 u 1). Anzi, il-funzjoni tas-senu hija fuq il-komplessi.

Il-funzjonijiet meromorfi

Singularitajiet iżolati

Kunċett ieħor ċentrali fl-analisi komplessa hu dak tas-. Funzjoni olomorfa

${\displaystyle f:A\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$

definita fuq sett miftuħ ${\displaystyle \ A}$, bil-punt intern ${\displaystyle \ z_{0}}$ imneħħi, għandha singularità iżolata f' ${\displaystyle \ z_{0}}$. Dan differenti milli jiġri fil-każ ta’ funzjonijiet reali għax l-imġiba tal-funzjoni qrib ${\displaystyle \ z_{0}}$ nistgħu naqsmuha fi tliet tipi, determinati mill-imġiba tal-modulu ${\displaystyle \ |f(z)|}$ qrib il-punt:

1. Jekk ${\displaystyle \ |f(z)|}$ hu limitat fl- ta’ ${\displaystyle \ z_{0}}$, is-singularità hi : il-funzjoni testendi bil-kontinwità għall-punt, u l-estensjoni tibqa’ olomorfa.
2. Jekk ${\displaystyle \ |f(z)|}$ jersaq lejn l-infinit meta ${\displaystyle \ z}$ tersaq lejn ${\displaystyle \ z_{0}}$, is-singularità ngħidulha .
3. Fil-każi l-oħra kollha, ${\displaystyle \ |f(z)|}$ m’għandiex limitu meta ${\displaystyle \ z}$ tersaq lejn ${\displaystyle \ z_{0}}$, u s-singularità ngħidulha .

Sfera ta’ Riemann

Jekk il-funzjoni għandha singularità eliminabbli f’${\displaystyle \ z_{0}}$, din testendi għal funzjoni olomorfa fuq ${\displaystyle \ A}$. Jekk għandha pol, possibbli wkoll nestendu l-funzjoni billi nqegħdu ${\displaystyle \ f(z_{0})=\infty }$. Ir-riżultat ta’ din operazzjoni hi funzjoni ta’ tip ġdid, li ngħidula .

Il-funzjonijiet meromorfi iġibu ruħhom lokalment bħall-funzjonijiet olomorfi: biżżejjed inżidu mal-pjan kompless, il-punt ${\displaystyle \ \infty }$, permezz tal-. L-ispazju li niksbu hu topoloġikament ekwivalenti għal l-i, u jgħidulu l-i. Spiss hu identifikat mall- komplessa ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$. Funzjoni meromorfa hi għalhekk funzjoni partikulari

${\displaystyle f:A\to \mathbb {CP} ^{1}.}$

B’din il-kostruzzjoni, il-punt fl-infinit nittrattawh bħal l-oħrajn kollha, u nistgħu naqilbu ħafna riżultati fuq il-funzjonijiet olomorfi għall-kuntest tal-funzjonijiet meromorfi. Estensjoni analoga tista’ ssir jekk id-dominju, ${\displaystyle \ A}$, jkun sett miftuħ ta’ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$.

Per eżempju ():

${\displaystyle f(z)={{az+b} \over {kz+d}}}$

fejn ${\displaystyle \ a,b,k,d}$ huma komplessi u

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\k&d\end{pmatrix}}\neq 0}$

hi funzjoni meromorfa

${\displaystyle f:\mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}.}$

Biblijografija

Portal Matematika

• F. Casorati Teorica delle funzioni di variabili complesse ( Fratelli Fusi, Pavia, 1868)
• H. Durège Elements of the theory of functions of a complex variable with especial reference to the methods of Riemann (G.E. Fisher and I.J. Schwatt, Philadelphia, 1896)
• J. Pierpont Functions of a complex variable (Ginn & co., Boston, 1914)
• E. J. Townsend Functions Of a complex variable (Henry Holt And Company, 1915)
• T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London, MacMillan, 1917)
• H. F. Burkhardt Theory of functions of a complex variable (D. C. Heath, Boston, 1913)
• A. R. Forsyth Theory of functions of a complex variable (Cambridge University Press, 1918)
• J. Harkness e F. Morley Introduction ToThe Theory Analytic Functions (Stechert & co., 1898)
• E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922)
• E. Goursat Functions of a complex variable I (Ginn & co. 1916)
• E. Goursat Functions of a complex variable II (Ginn & co. 1916)
• S.Saks e A. Zygmund Analytic functions (Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952)
• J. Houel Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième e Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième deuxième partie (Gauthier-Villars, 1881)
• E. Picard Traité d'Analyse (vol. 2) (Gauthier-Villars, 1893)

• Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E, Advanced Engineering Mathematics, 9 ed., Ch.13-18 (Wiley, 2006).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

Portal Matematika