Derivata

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ f' punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt ${\displaystyle \displaystyle {(x_{0},f(x_{0}))}}$, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' ${\displaystyle \displaystyle {x}}$. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ fil-punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ hi definita bħala l- tar- meta l-inkrement ${\displaystyle \displaystyle {h}}$ jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ definita f' ta' ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ ngħidu li hi derivabbli fil-punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

${\displaystyle {\mathop {\lim _{h\to 0}} {{f\left({x_{0}+h}\right)-f\left(x_{0}\right)} \over h}}}$

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'${\displaystyle \displaystyle {f^{\prime }(x_{0})}}$, ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$. Jekk il-funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ hi derivabbli f'kull punt tal-intervall ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$, ngħidu li hi derivabbli f'${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$, u l- funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f^{\prime }}}$ li tassoċja ma' kull punt ${\displaystyle \displaystyle {x}}$ id-derivata ta' ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ f' ${\displaystyle \displaystyle {x}}$, insejħulha l-funzjoni derivata ta' ${\displaystyle \displaystyle {f}}$.

Id-derivata fil-punt ${\displaystyle x_{0}}$ nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

• ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0}),}$ skont in-notazzjoni ta' .

• ${\displaystyle \operatorname {D} [{f}({x_{0}})],}$ skont in-notazzjoni ta' .

• ${\displaystyle {\operatorname {d} f(x_{0})} \over {\operatorname {d} x},}$ skont in-notazzjoni ta' : l-ewwel li dehret storikament hi ${\displaystyle ({{\operatorname {d} f} \over {\operatorname {d} x}})_{(x_{0})},}$ .

• ${\displaystyle {\dot {f}}(x_{0}),}$ skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ f'${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ il-limitu:

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}}$

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ f'${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ il-limitu:

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{-}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}}$

Funzjoni hi derivabbli f'${\displaystyle \displaystyle {x}}$ jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ hi definita f'l-intervall magħluq ${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$, ngħidu li ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ hi derivabbli f'${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$ jekk hi derivabbli f'kull punt intern ${\displaystyle \displaystyle {x}}$ ta' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf ${\displaystyle \displaystyle {x=a}}$ u ${\displaystyle \displaystyle {x=b}}$.

Tifsira ġometrika tad-derivata

Il- tad-derivata ta' ${\displaystyle f}$ ikkalkulat f'${\displaystyle x_{0}}$ għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l- tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' ${\displaystyle f}$, fil-punt bil-koordinati ${\displaystyle (x_{0},\,f(x_{0}))}$.

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt ${\displaystyle (x_{0},\,f(x_{0}))}$ tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'${\displaystyle x_{0}}$ hija:

${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).\;}$

Iżjed preċiż, jekk ${\displaystyle f}$ hi derivabbli fil-punt ${\displaystyle x_{0}}$, teżisti funzjoni ${\displaystyle o(x-x_{0})}$ definita f' ta' ${\displaystyle x_{0}}$ tali li:

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})\;}$

fejn

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=0.}$

Ngħidu li ${\displaystyle \displaystyle {o(x-x_{0}})}$ hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni ${\displaystyle x-x_{0}}$. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini ${\displaystyle o(x-x_{0})}$ jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn ${\displaystyle x_{0}}$.

Niddefinixxu ${\displaystyle \displaystyle {o(x-x_{0})}}$ b'l-istess dominju ta' ${\displaystyle f}$, bħala:

${\displaystyle \displaystyle {o(x-x_{0})=f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})(x-x_{0})}}$

u nivverifikaw li:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left({{f(x)-f(x_{0})} \over {x-x_{0}}}-f'(x_{0})\right).\ \ \ (1)}$

Niftakru li għal :${\displaystyle x\to x_{0}}$ għandna :${\displaystyle x-x_{0}\to 0}$ mela :${\displaystyle h=x-x_{0}.}$

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}-f'(x_{0})=0}$

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk ${\displaystyle f}$ tkun derivabbli f'${\displaystyle x_{0}}$ imbagħad tkun ukoll f'${\displaystyle x_{0}}$.

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni ${\displaystyle f(x)=|x|}$ hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt ${\displaystyle x=0}$, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

${\displaystyle \displaystyle {f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}}$

minn fejn niksbu:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}\left({f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}=f(x_{0})\right).}$

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'${\displaystyle x_{0}}$.

Funzjonijiet mhux derivabbli

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

• ,
• jew ,
• bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-.

L-${\displaystyle n}$-il Derivata

L-"${\displaystyle \displaystyle {n}}$ -il derivata", ${\displaystyle \displaystyle {f^{(n)}}}$, ta' funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {n}}$ darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

${\displaystyle f''=f^{(2)}={{\mathrm {d} ^{2}f} \over {\mathrm {d} x^{2}}},}$

${\displaystyle f'''=f^{(3)}={{\mathrm {d} ^{3}f} \over {\mathrm {d} x^{3}}},}$,

...

${\displaystyle f^{(n)}={{\mathrm {d} ^{n}f} \over {\mathrm {d} x^{n}}}}$

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli ${\displaystyle \displaystyle {n}}$-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

${\displaystyle \displaystyle {f(x)=x|x|}.}$

Infatti id-derivata ta' ${\displaystyle f}$ hi ${\displaystyle f\,'(x)=2|x|}$, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta'

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ fl-intern tad- ta' ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ li jkun punt jew tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ tkun nulla, jiġifieri ${\displaystyle \displaystyle {f^{\prime }(x_{0})=0}}$.

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' jew ta' fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt ${\displaystyle \displaystyle {x}}$ fejn ${\displaystyle \displaystyle {f^{\prime }(x)}}$ hi żero ngħidulu . Allura il-punti ta' u ta' huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

• hu neċessarju li ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ tkun punt ġewwieni tad-dominju
• il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$, inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ hu punt ta' massimu u għalhekk ${\displaystyle \displaystyle {f(x_{0})}}$ hu valur massimu tal-funzjoni f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$; il-prova hija l-istess fil-każ li ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ jkun punt ta' minimu għal ${\displaystyle \displaystyle {f}}$.
Inħarsu lejn ir-: ${\displaystyle {{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}.}$
In-numeratur ${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\leq 0\ \forall x\in (a,b)}$ għaliex, bl-ipoteżi, ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ hu punt ta' massimu u għalhekk ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)\ \forall x\in (a,b)}$.

Mela nistgħu ngħidu li :

• ${\displaystyle {{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\geq 0}$ jekk ${\displaystyle \displaystyle {x<x_{0}}}$, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  
• ${\displaystyle {{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\leq 0}$ jekk ${\displaystyle \displaystyle {x>x_{0}}}$, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.
  

Isegwi, bit- li:

• ${\displaystyle f'(x_{0}^{-})=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\geq 0,}$
  
• ${\displaystyle f'(x_{0}^{+})=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)} \over {x-x_{0}}}\leq 0.}$
  

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ hi derivabbli f' ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin ${\displaystyle \leq 0}$ u ${\displaystyle \geq 0}$, u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Rolle

Teorema: Teorema ta' Rolle

Ħalli ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq ${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$ u derivabbli fl-intervall miftuħ ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$. Jekk ${\displaystyle \displaystyle {f(a)=f(b)}}$,imbagħad jeżisti punt ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ ġewwa l-intervall miftuħ ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$ fejn l-ewwel derivata tkun nulla, ${\displaystyle \displaystyle {f^{\prime }(x_{0})=0}}$.

Teorema ta'

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ tkun funzjoni kontinwa f' ${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$ u derivabbli f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ ġewwa ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$ li għalih:

${\displaystyle f'(x_{0})={{f(b)-f(a)} \over {b-a}}.}$

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, ${\displaystyle (x_{0},\,f(x_{0}))}$, fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal- dritta li tgħaddi mill-punti ${\displaystyle (a,\,f(a))}$ u ${\displaystyle (b,\,f(b))}$.

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn ${\displaystyle \displaystyle {f(a)}}$ hi differenti minn ${\displaystyle \displaystyle {f(b)}}$; jekk ${\displaystyle \displaystyle {f(a)}}$ hi daqs ${\displaystyle \displaystyle {f(b)}}$ nerġgħu niksbu it-.

Teorema ta'

Teorema: Teorema ta' Cauchy

Ħalli ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ u ${\displaystyle \displaystyle {g}}$ jkunu funzjonijiet kontinwi f' ${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$ u derivabili f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$ u ${\displaystyle \displaystyle {g(x)}}$ differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed ${\displaystyle \displaystyle {x_{0}}}$ li qiegħed f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b})}$ li għalih:

${\displaystyle {f'(x_{0}) \over g'(x_{0})}={{f(b)-f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.}$

Jekk inpoġġu ${\displaystyle \displaystyle {g(x)=x}}$, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk ${\displaystyle \displaystyle {f}}$ tkun kontinwa f' ${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$ u derivabbli f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$, imbagħad :

• ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\ f'(x)\geq 0}$ jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$,

• ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\ f'(x)\leq 0}$ jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$.

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

• Jekk ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\ f'(x)>0}$, il-funzjoni tiżdied strettament f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$

• Jekk ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\ f'(x)<0}$, il-funzjoni tonqos strettament f' ${\displaystyle \displaystyle {(a,b)}}$

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

${\displaystyle \displaystyle {f(x)=x^{3}}}$

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm ).

Teorema tal-funzjoni kostanti

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi fl- ${\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}$ jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali

ngħidulha derivabbli fil-punt ${\displaystyle \ x}$ jekk jeżisti u hu finit il-limitu

${\displaystyle \mathbf {f} '(x)=\lim _{h\to 0}{{\mathbf {f} (x+h)-\mathbf {f} (x)} \over {h}}.}$

Billi l-argument tal-limitu hu , ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' ${\displaystyle \ f}$ hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

${\displaystyle \mathbf {f} '(x)=(f'_{1}(x),f'_{2}(x),...,f'_{n}(x))}$.

Derivabbiltà f'${\displaystyle \ {\mathbb {R} ^{\rm {n}}}}$

Funzjoni ${\displaystyle \,f}$ ngħidulha derivabbli f'${\displaystyle \ {\mathbb {R} ^{\rm {n}}}}$ jekk jeżistu u huma finiti d- tagħha kollha.

Konvessità

Ħalli ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni ${\displaystyle \ f}$ hi:

• konvessa f' ${\displaystyle \ [a,b]}$ jekk ${\displaystyle \forall x_{0}\in [a,b]}$ il-grafiku tal-funzjoni f' ${\displaystyle \ [a,b]}$ jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt ${\displaystyle \ (x_{0},\,f(x_{0}))}$.

Bis-simboli:

${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+f'(x)(x-x_{0})\ \forall x,x_{0}\in [a,b].}$

• konkava f' ${\displaystyle \ [a,b]}$ jekk ${\displaystyle \forall x_{0}\in [a,b]}$ il-grafiku tal-funzjoni f' ${\displaystyle \ [a,b]}$ jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt ${\displaystyle \ (x_{0},\,f(x_{0}))}$.

Bis-simboli:

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+f'(x)(x-x_{0})\ \forall x,x_{0}\in [a,b].}$

Derivata ta' serje ta' potenzi

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ b' ${\displaystyle \ r}$, hi derivabbli fuq l-intervall ${\displaystyle (-r,\,r)}$ kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

${\displaystyle f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}$

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-i u McLaurin.

Derivata formali

Fit- nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur ${\displaystyle \partial }$ li jissodisfa:

• ${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$ (l-operazzjoni hi )
• ${\displaystyle \partial (u\cdot v)=u\cdot \partial v+\partial u\cdot v}$ (ir-).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-.

Portal Matematika