Alġebra astratta

L-alġebra astratta testendi l-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

: Minflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ differenti, fl-alġebra astratta nqisu l-kunċett iżjed ġenerali ta’ sett li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom ) li għandhom ċerta proprjetà speċifika għas-sett. Pereżempju, in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu s-sett tal- ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal- tat-tieni ordni (ax² + bx + c), is-sett tal- bidimensjonali, u varji bħall-, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi n. It- hija fergħa tal- u teknikament mhix fergħa tal-alġebra.

: L-idea tal- (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina operazzjoni binarja, * ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi a u b f’sett S a*b ittina element ieħor fis-sett, (din il-kundizzjoni ngħidulha taħt l-operazzjoni). L- (+), it-tnaqqis (-), il- (×), u d- (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-multiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

: Il-kunċett tal-“element tal-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element tal-identità għall-għadd and u wieħed l-element tal-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element tal-identità e irid jissodisfa a * e = a u e * a = a. Għall-għadd din hi sodisfatta billi a + 0 = a u 0 + a = a u għall-moltiplikazzjini wkoll għax a × 1 = a u 1 × a = a. Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni tal-għadd, m’hemmx element tal-identità.

: Min-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta’ element invers jew sempliċiment l-invers. Għall-għadd, l-invers ta’ a huwa -a, u għall-multiplikazzjoni l-invers hu 1/a. L-element invers ġenerali a^-1 jrid jissodisfa r-relazzjoni a * a^-1 = e u a^-1 * a = e.

: L-għadd tan-numri interi għandu proprjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, il-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir (a * b) * c = a * (b * c). Il-biċċa kbira tal-operazzjonijiet binarji għandhom din il-proprjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le.

: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll proprjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issir a * b = b * a. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-proprjetà. L-għadd u l-multiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-proprjetà imma l- le.

Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi importanti fil-matematika: il- grupp. Grupp jikkonsisti f’sett S u li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-proprjetajiet:

• Irid ikun hemm element tal-identità e, li għal kull membru ieħor a ta’ S, e * a u a * e huma t-tnejn ugwali għal a.
• Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor a ta’ S, irid jeżisti membru a^-1 sabiex a * a^-1 u a^-1 * a huma t-tnejn ugwali għall-element tal-identità.
• L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal a, b u c membri ta’ S, (a * b) * c hija ugwali għal a * (b * c).

Jekk grupp hu anki - jiġifieri, għal kull żewg membri a u b ta’ S, a * b hija ugwali għal b * a – il-grupp ngħidu li hu .

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni tal-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element a huwa n-negativ tiegħu, -a. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi a, b u c, (a + b) + c = a + (b + c).

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il- li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il- f’xi 30 tip bażiku.

Eżempji (MA = Mhux Applikabbli, bż = bla żero)
Sett:	${\displaystyle \mathbb {N} }$		${\displaystyle \mathbb {Z} }$		${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ u ${\displaystyle \mathbb {C} }$				Interi mod 3: {0,1,2}
Operazzjoni	+	× (bż)	+	× (bż)	+	−	× (bż)	÷ (bż)	+	× (bż)
Magħluq	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva
Identità	0	1	0	1	0	MA	1	MA	0	1
Invers	MA	MA	-a	MA	-a	a	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{a}}\end{matrix}}}$	a	0,2,1, respettivament	MA, 1, 2, respettivament
Assoċjattiv	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Le	Iva	Le	Iva	Iva
Kommutativ	Iva	Iva	Iva	Iva	Iva	Le	Iva	Le	Iva	Iva
Struttura			grupp Abeljan		grupp Abeljan		grupp Abeljan		grupp Abeljan	grupp Abeljan (${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$)

, , u huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. għandu operazzjoni binarja assoċjattiva, imma jista’ jkun li m’għandux element tal-identità. huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. għandu l-proprjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×)

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-, u l-.

Id- tiġġeneralizza l-liġi distributtiva tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-). Għall-interi (a + b) × c = a×c+ b×c u c × (a + b) = c×a + c×b, u ngħidu li × hija distributtiva fuq +.

għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma grupp Abeljan. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element tal-identità tal-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse tal-għadd ta’ a jinkiteb -a.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku.

hu ċirku b’proprjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw grupp Abeljan taħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta’ a jinkiteb a^-1.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.

Portal Matematika