Trasformata ta' Fourier

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit- l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, , , ), u fil-matematika stess (, , , teorija tan-numri, ġometrija). Fit-, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' u relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż fl-, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

Definizzjoni

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal ${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} )\!}$, niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal- ${\displaystyle u\!}$ hekk:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u\}(\omega )={\hat {u}}(\omega ):={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt\qquad \forall \omega \in \mathbb {R} \!}$

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

${\displaystyle {\mathcal {F}}:u\to {\hat {u}}\!}$

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet ${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!}$:

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal ${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!}$ niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni ${\displaystyle u\!}$ hekk:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u\}({\boldsymbol {\omega }})={\hat {u}}({\boldsymbol {\omega }}):={{1} \over {{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\rm {i}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {t} }u(\mathbf {t} )\,d\mathbf {t} \qquad \forall {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{n}\!}$

fejn ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {t} \!}$ jirrappreżenta l-.

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur ${\displaystyle {{1} \over {{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\!}$.

Eżempji

---

Jekk ${\displaystyle u(t)=\chi _{[-1,+1]}(t)\!}$, jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

${\displaystyle {\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}\chi _{[-1,+1]}(t)\,dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-{\rm {i}}\omega t}\,dt}$

${\displaystyle ={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}{\left[{{e^{-{\rm {i}}\omega t}} \over {-{\rm {i}}\omega }}\right]}_{-1}^{+1}={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}{{e^{{\rm {i}}\omega }-e^{-{\rm {i}}\omega }} \over {{\rm {i}}\omega }}={\sqrt {{2} \over {\pi }}}{{\sin \omega } \over {\omega }}\!}$

---

Jekk ${\displaystyle u(t)={{1} \over {1+t^{2}}}\!}$, għandna:

${\displaystyle {\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt}$

Issa napplikaw il- u il- u niksbu:

${\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{+R}e^{-{\rm {i}}\omega t}u(t)\,dt={\begin{cases}\pi e^{\omega }&\omega <0\\\pi e^{-\omega }&\omega >0\end{cases}}}$

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

${\displaystyle {\hat {u}}(\omega )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{{e^{-{\rm {i}}\omega t}} \over {1+t^{2}}}\,dt={\sqrt {{\pi } \over {2}}}e^{-|\omega |}\!}$

Proprijetajiet formali

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g)}$

għal kull ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ u ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$.

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ u ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$.

Jekk ${\displaystyle g(t)=f(t-\alpha )}$, imbagħad

${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )e^{-{\rm {i}}\alpha \omega }}$

u jekk ${\displaystyle g(t)=f(t)e^{{\rm {i}}\alpha t}}$, imbagħad

${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\alpha )}$.

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk ${\displaystyle g(t)=f(-t)}$, imbagħad ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(-\omega )}$, u jekk ${\displaystyle g(t)=f(-t)^{*}}$, fejn l-asterisk jiddenota il-, imbagħad ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )^{*}}$. In partikulari, jekk f hi reali u , imbagħad ${\displaystyle {\hat {f}}}$ hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad ${\displaystyle {\hat {f}}}$ hi immaġinarja u farrada.

B' sempliċi niksbu li jekk ${\displaystyle g(t)=f(t/\lambda )}$ b' ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, imbagħad ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )=\lambda {\hat {f}}(\lambda \omega )}$.

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' (denotata b'${\displaystyle ^{*}}$) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ),}$

${\displaystyle (f*g)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\mathrm {d} s}$,

imbagħad ikollna

${\displaystyle {\widehat {f*g}}={\hat {f}}{\hat {g}}}$.

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-.

Bl- nistgħu nipprovaw li jekk ${\displaystyle g(t)=-{\rm {i}}tf(t)}$ u ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )}$, imbagħad ${\displaystyle {\hat {f}}}$ hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

${\displaystyle {\hat {f}}'(\omega )={\hat {g}}(\omega ).}$

Jekk vice versa ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, ${\displaystyle f'\in L^{1}(\mathbb {R} )}$, imbagħad it-trasformata tad-derivata hi ${\displaystyle {\widehat {f'}}(\omega )=i\omega {\hat {f}}(\omega )}$. Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

Teorema Riemann-Lebesgue

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli ${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\!}$. Jekk ${\displaystyle {\hat {u}}={\mathcal {F}}\{u\}}$, imbagħad:

1. ${\displaystyle {\hat {u}}\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\!}$
2. ${\displaystyle {\left\|{\hat {u}}\right\|}_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\left\|u\right\|}_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\!}$
3. ${\displaystyle \lim _{\|{\boldsymbol {\xi }}\|\to \infty }{\hat {u}}({\boldsymbol {\xi }})=0\!}$

Ara wkoll

• Serje ta' Fourier

Biblijografija

Portal Matematika

• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. ISBN 0-12-585002-6